Question

【題目】已知曲線上任意一點到的距離比到軸的距離大1，橢圓的中心在原點，一個焦點與的焦點重合，長軸長為4．

（Ⅰ）求曲線和橢圓的方程；

（Ⅱ）橢圓上是否存在一點，經過點作曲線的兩條切線（為切點）使得直線過橢圓的上頂點，若存在，求出切線的方程，不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】試題分析：（1）曲線,曲線；（2）設方程： 代入，得到韋達定理，由切線方程得到，又在橢圓上，可得： ，所以，寫出切線方程。

試題解析：

（1）曲線,曲線

（2）若存在，由題意設方程： 代入化簡得

設，則， ①

由于，所以切線方程為：

即： ②

同理切線方程為： ③

由②③得，∴

又在橢圓上，可得： ∴

代入①有：

所以橢圓上存在一點符合題意，此時兩條切線的方程為