Question

【題目】設函數，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）討論的極值點的個數；

（Ⅲ）若在y軸右側的圖象都不在x軸下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）答案不唯一，具體見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）當時，求出函數的導函數，再求出在處的切線的斜率，最后利用點斜式求出切線方程；

（Ⅱ）求函數的導函數，通過換元法，導函數的解析式是二次項系數不確定的多項式函數，根據二次項系數等于零、大于零、小于零，結合一元二次方程根的判別式，分類討論求出函數的極值點的個數；

（Ⅲ）由題設可知，．因此有當時，，

根據（Ⅱ）可知函數的單調性進行分類討論；

①當時，利用函數的單調性可以證明出成立．

②當時，利用根與系數關系，和函數的單調性可以得到．

③當時，利用放縮法、構造新函數，可以證明當時，不恒成立，最后確定a的取值范圍.

解：（Ⅰ）當時，，，

所以，．

曲線在處的切線方程為，即．

（Ⅱ）由已知可得，

設，則，記，

（1）時，，函數在R上為增函數，沒有極值點．

（2）當時，判別式，

①若時，，，函數在R上為增函數，沒有極值點．

②若時，，由，拋物線的對稱軸為，

可知的零點均為正數．

不妨設的兩個不等正實數根為，且，

則，

所以當，，單調遞增，

當，，單調遞減，

當，，單調遞增，

此時函數有兩個極值點．

（3）若時，由，

可知的兩個不相等的實數根，且，

當，，單調遞增，

當，，單調遞減，

此時函數只有一個極值點．

綜上：當時無極值點；

當時有一個極值點；

當時有兩個極值點．

（Ⅲ）由題設可知，．

時，，

由（Ⅱ）知：

①當時，函數在R上為增函數，

，所以成立；

②當時，，，所以，

當時單調遞增，又，

所以，，等價于，即．

所以只需，即．

所以，當時，也滿足，；

③當時，

，

考察函數，

顯然存在，使得，

即存在，使得，不滿足，

綜上所述，a的取值范圍是