Question

【題目】已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．

（1）當切線PA的長度為時，求點P的坐標；

（2）若的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）求線段AB長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）圓過定點，；（3）當時，AB有最小值．

【解析】

（1）設，由，計算即可求得，得出結果；

（2）因為A、P、M三點的圓N以MP為直徑，所以圓的方程為，化簡為，由方程恒成立可知，即可求得動圓所過的定點；

（3）由圓和圓方程作差可得直線方程，設點到直線AB的距離，則，計算化簡可得結果.

（1）由題可知，圓M的半徑，設，

因為PA是圓M的一條切線，所以，

所以，

解得或，

所以點P的坐標為或．

（2）設，因為，

所以經過A、P、M三點的圓N以MP為直徑，

其方程為，

即，

由，

解得或，

所以圓過定點，．

（3）因為圓N方程為，

即①

又圓②

①-②得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為

．

點到直線AB的距離，

所以相交弦長

，

所以當時，AB有最小值．