Question

已知數列{a_n}中，a1=

1

2

，點（n，2a_n+1-a_n）在直線y=x上，其中n=1，2，3…．
（Ⅰ）令b_n=a_n-1-a_n-3，求證數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅲ）設S_n、T_n分別為數列{a_n}、{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得數列{

Sn+λTn

n

}為等差數列？若存在，試求出λ．若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把點（n、2a_n+1-a_n）代入直線方程可得2a_n+1=a_n+n代入b_n和b_n+1中兩式相除結果為常數，故可判定{b_n}為等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得數列{b_n}的通項公式，進而可求得數列的前n項和，進而可得{a_n}的通項公式．
（Ⅲ）把數列a_n}、{b_n}通項公式代入a_n+2b_n，進而得到S_n+2T的表達式代入T_n，進而推斷當且僅當λ=2時，數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列．

解答：解：（Ⅰ）由已知得a1=

1

2

，2an+1=an+n，
∵a2=

3

4

，a2-a1-1=

3

4

-

1

2

-1=-

3

4

，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴

bn+1

bn

=

an+1-an-1

an+2-an+1-1

=

an+1+(n+1) 2 - an+n 2

an+1-an-1

=

an+1-an-1 2

an+1-an-1

=

1

2

．
∴{b_n}是以-

3

4

為首項，以

1

2

為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=-

3

4

×(

1

2

)n-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴an+1-an-1=-

3

2

×

1

2n

，
∴a2-a1-1=-

3

2

×

1

2

，a3-a2-1=-

3

2

×

1

22

，
…
∴an-an-1-1=-

3

2

×

1

2n-1

，
將以上各式相加得：
∴an-a1-(n-1)=-

3

2

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)，
∴an=a1+n-1-

3

2

×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

2

+(n-1)-

3

2

(1-

1

2n-1

)=

3

2n

+n-2．
∴an=

3

2n

+n-2．
（Ⅲ）存在λ=2，使數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列．
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，a_n+2b_n=n-2
∴Sn+2T=

n(n+1)

2

-2n

Sn+λTn

n

=

n(n+1) 2 -2n-2Tn+λTn

n

=

n-3

2

+

λ-2

n

Tn
又Tn=b1+b2+…+bn=

- 3 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=-

3

2

(1-

1

2n

)=-

3

2

+

3

2n+1

Sn+λTn

n

=

n-3

2

+

λ-2

n

(-

3

2

+

3

2n+1

)
∴當且僅當λ=2時，數列{

Sn+λTn

n

}是等差數列．

點評：本題主要考查了等比關系和等差關系的確定．要利用好a_n和a_n-1的關系．