Question

如圖所示，已知A，B，C是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2

3

，0)，BC過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E上存在兩點(diǎn)P，Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量

PQ

與

AB

是否共線，并給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O可推斷出|OC|=|AC|，進(jìn)而根據(jù)A(2

3

，0)，∠ACB=90°求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，將a及C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)∠PCQ的平分線總垂直于x軸，可知PC與CQ所在直線關(guān)于直線x=

3

對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，進(jìn)而可表示出直線PC的方程和直線CQ的方程分別于橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)且在橢圓上，可利用韋達(dá)定理求得x_Q和x_p的表達(dá)式，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，則直線AB的斜率可求得，進(jìn)而可知k_AB=k_PQ，推斷出向量

PQ

與向量

AB

共線．

解答：解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O（0，0），
∴|OC|=|AC|．又A(2

3

，0)，∠ACB=90°，
∴C(

3

，

3

)，
∵a=2

3

，將a=2

3

及C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得

3

12

+

3

b2

=1，∴b2=4，
∴橢圓E的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．

（Ⅱ）對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)P，Q，
∵∠PCQ的平分線總垂直于x軸，
∴PC與CQ所在直線關(guān)于直線x=

3

對(duì)稱，設(shè)直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，
∴直線PC的方程為y-

3

=k(x-

3

)，
即y=k(x-

3

)+

3

．①
直線CQ的方程為y=-k(x-

3

)+

3

．②
將①代入

x2

12

+

y2

4

=1，
得(1+3k2)x2+6

3

k(1-k)x+9k2-18k-3=0，③
∵C(

3

，

3

)在橢圓上，
∴x=

3

是方程③的一個(gè)根．
∴xP•

3

=

9k2-18k-3

1+3k2

，
∴xP=

9k2-18k-3

3 (1+3k2)

，
同理可得，xQ=

9k2+18k-3

3 (1+3k2)

，
∴kPQ=

y Q-yP

xQ-xP

=

-k(xQ+xP)+2 3 k

xQ-xP

=

1

3

．
∵C(

3

，

3

)，
∴B(-

3

，-

3

)，
又A(2

3

，0)，
∴kAB=

3

3 3

=

1

3

，
∴k_AB=k_PQ，∴向量

PQ

與向量

AB

共線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．