Question

設函數上滿足以為對稱軸，且在上只有，試求方程在根的個數為（    ）

A．803個

B．804個

C．805個

D．806個

Answer 1

C

本試題主要是考查了函數與方程的思想的運用，求解零點問題的綜合試題。
因為函數f(x)關于x=7對稱可知f(x)=f(14-x),又因為關于x=2對稱，那么可知f(x)=f(4-x)故有f（4-x）=f（14-x）⇒f（x）=f（x+10），周期為10，又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0，因為在閉區間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上無零點，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上無零點，故在[0，10]上僅有兩個解，故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，從而可知函數y=f（x）在[0，2012]上有403個解，在[-2012.0]上有400個解，所以函數y=f（x）在[-2012，2012]上有805個解．故選C.
解決該試題的關鍵是分析在閉區間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上無零點，又f（7-x）=f（7+x），故在[7，10]上無零點，故在[0，10]上僅有兩個解。然后利用周期性得到結論。