Question

在兩個各項均為正數的數列a_n、b_n（n∈N^*）中，已知a_n、b_n²、a_n+1成等差數列，并且b_n²、a_n+1、b_n+1²成等比數列．
（Ⅰ）證明：數列b_n是等差數列；
（Ⅱ）若a₁=2，a₂=6，設（q＞0為常數），求數列c_n的前n項和S_n

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據等差數列和等比數列的性質聯立方程求得a_n+1=b_nb_n+1，進而求得a_n=b_n-1b_n，代入2b_n²=a_n+a_n+1，求得2b_n=b_n-1+b_n+1，判斷出數列b_n是等差數列．
（Ⅱ）2b_n²=a_n+a_n+1求得b₁，根據（1）中的結論求得數列{b_n}的通項公式，進而根據a_n=b_n-1b_n，求得a_n．進而C_n的通項公式可得先看當q=1時，C_n=n，進而根據等差數列的求和公式求得前n項的和；再看q≠0時，應用錯位相減法求得前n項的和．最后綜合可得答案．
解答：解：（I）由題意知，
又∵數列a_n、b_n各項都是正數，∴a_n+1=b_nb_n+1，則a_n=b_n-1b_n
代入2b_n²=a_n+a_n+1，得2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1
即2b_n=b_n-1+b_n+1，所以數列b_n是等差數列．

（II）∵a₁=2，a₂=6，又2b_n²=a_n+a_n+1，得2b₁²=a₁+a₂=8，解得b₁=2
又∵a₂=b₁b₂=6∴b₂=3，由（I）知數列b_n是等差數列，則公差d=b₂-b₁=1
∴b_n=b₁+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又a_n=b_n-1b_n，得a_n=n（n+1）=n²+n，
∴，
則當q=1時，c_n=n，此時；
當q≠1時，S_n=c₁+c₂++c_n=1×q²+2×q³++nqⁿ⁺¹，①
所以qS_n=qc₁+qc₂++qc_n=1×q³+2×q⁴++nqⁿ⁺²②
由①-②，得，
即
綜上可知，
點評：本題主要考查了數列的求和問題．考查了學生對等比數列和等差數列基礎知識的掌握．