【題目】已知函數
，其中
為自然對數的底數．（參考數據： 
）
（1）討論函數
的單調性；
（2）若
時，函數
有三個零點，分別記為
，證明： 
．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】試題分析：（1）先求函數導數
,根據參數a討論：當
時， 
是常數函數，沒有單調性．當
時，先減后增；當
時，先增后減；（2）先化簡方程，整體設元轉化為一元二次方程： 
．其中
，再利用導數研究函數
的圖像，根據圖像確定根的取值范圍，進而可證不等式.
試題解析：解：（1）因為
的定義域為實數
，
所以
．
①當
時， 
是常數函數，沒有單調性．
②當
時，由
，得
；由
，得
．
所以函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增．
③當
時，由
得， 
； 由
，得
，
所以函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增．
（2）因為
，
所以
，即
．
令
，則有
，即
．
設方程
的根為
，則
，
所以
是方程
的根．
由（1）知
在
單調遞增，在
上單調遞減．
且當
時， 
，當
時， 
，
如圖，依據題意，不妨取
，所以
，
因為
，
易知
，要證
，即證
．
所以
，又函數
在
上單調遞增，
所以
，所以
．
培優好卷單元加期末卷系列答案
一線名師權威作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=（x﹣2m）（x+m+3）（其中m＜﹣1），g（x）=2x﹣2．
（1）若命題p：log2[g（x）]≥1是假命題．求x的取值范圍；
（2）若命題q：x∈（﹣∞，3）．命題r：x滿足f（x）＜0或g（x）＜0為真命題．￢r是￢q的必要不充分條件，求m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】解答題
（1）設p：實數x滿足（x﹣3a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，q：實數x滿足 
，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍；
（2）設命題p：“函數 
無極值”；命題q：“方程 
表示焦點在y軸上的橢圓”，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1﹣x）其中（a＞0且a≠1）．
（1）判斷f（x）﹣g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）求使f（x）﹣g（x）＞0成立的x的集合．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知圓錐
和圓柱
的組合體（它們的底面重合），圓錐的底面圓
半徑為
， 
為圓錐的母線， 
為圓柱
的母線， 
為下底面圓
上的兩點，且
， 
， 
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】直角坐標系
中，曲線
與
軸負半軸交于點
，直線
與
相切于
， 
為
上任意一點， 
為
在
上的射影， 
為
的中點．
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）軌跡
與
軸交于
，點
為曲線
上的點，且
， 
，試探究三角形
的面積是否為定值，若為定值，求出該值；若非定值，求其取值范圍．
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