Question

已知點G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點M，滿足|

MA

|=|

MC

|，

GM

=λ

AB

(λ∈R)（若△ABC的頂點坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），則該三角形的重心坐標為G(

x1+x2+x3

3

，

y1+y2+y3

3

)）．
（1）求點C的軌跡E的方程．
（2）設（1）中曲線E的左、右焦點分別為F₁、F₂，過點F₂的直線l交曲線E于P、Q兩點，求△F₁PQ面積的最大值，并求出取最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先設出C的坐標，則G點坐標可得，進而根據

GM

=λ

AB

判斷出GM∥AB，根據表示出M的坐標，利用|

MA

|=|

MC

|進而利用兩點間的距離公式求得x和y的關系，點C的軌跡方程可得．
（2）由（1）可知焦點坐標，設出直線l的方程，設出P，Q的坐標，把直線與橢圓方程聯立消去x，根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂的表達式，進而求得|y₁-y₂|表達式，根據三角形面積公式求得三角形面積公式．進而根據均值不等式求得面積的最大值，根據等號成立的條件，求得t，則直線的方程可得．

解答：解：（1）設C（x，y），則G(

x

3

，

y

3

)．
∵

GM

=λ

AB

（λ∈R），∴GM∥AB．又M是x軸上一點，則M(

x

3

，0)．
又∵|

MA

|=|

MC

|，∴

( x 3 )2+(0+1)2

=

( x 3 -x)2+y2

．整理得

x2

3

+y2=1(x≠0)．

（2）由（1），知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．設直線l的方程為x=ty+

2

，
由（1），知x≠0，∴l不過點（0，±1），∴t≠±

2

設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將x=ty+

2

代入x2+3y2=3，(t2+3)y2+2

2

ty-1=0．
∴△=8t²+4（t²+3）=12（t²+1）＞0恒成立．∴y1+y2=

-2 2 t

t2+3

，y1•y2=-

1

t2+3

．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(t2+1) (t2+3)2

=

2 3 t2+1

t2+3

．
∴S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

2

|y1-y2|=2

6

t2+1

t2+3

(t≠±

2

)．
∴S△F1PQ=

2 6

t2+1 + 2 t2+1

≤

2 6

2 2

=

3

．
當且僅當t²+1=2，即t=±1時取“=”
所以△F₁PQ的最大值為

3

，此時直線l的方程為x±y-

2

=0．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用，以及直線與圓錐曲線的問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．