Question

（（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

（1）當時，如果函數(shù)僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，試比較與的大小；

（3）求證：（）．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當時，，定義域是，

， 令，得或．  …2分

當或時，，當時，，

   函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．  ……………4分

的極大值是，極小值是．

當時，； 當時，，

當僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………5分

  （2）當時，，定義域為．

      令，

       ，

       在上是增函數(shù)．              …………………………………7分

①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．  …………………………………9分

（3）（法一）根據(jù)（2）的結(jié)論，當時，，即．

令，則有，    ． ……………12分

，

．                ……………………………………14分

 (法二)當時，．

，，即時命題成立．   ………………………………10分

設(shè)當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據(jù)（2）的結(jié)論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．……………13分

因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立．                 ………………………………14分

（法三）如圖，根據(jù)定積分的定義，

得．……11分

，

．  ………………………………12分

，

又，，

．

．                …………………………………14分

 

【解析】略