Question

如圖，設△OEP的面積為S，已知=1．
（1）若，求向量與 的夾角θ的取值范圍；
（2）若S=||，且||≥2，當||取最小值時，建立適當的直角坐標系，求以O為中心，F為一個焦點且經過點P的橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）令 ，由題設知 ，，∵，∴，由此可求出 的范圍．．
（Ⅱ）以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），由題設知 .，．由此知 ，由此入手，當 取最小值時，能夠求出橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）令 ，
∵，∴，∴，
∵=，
∴，∵，∴，
∵θ∈[0，π]，∴．

（Ⅱ）以O為原點，OF所在直線為x軸建立直角坐標系，并令Q（m，n），則F（c，0），
且 ，∴．
∵，
∴．
∴，∴．
∴，
∵c≥2，
∴當c=2時，最小，此時Q（ ），
設橢圓方程為 ，
∴，
∴a²=10，b²=6．
∴所求橢圓為 ．
點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法．