Question

（1）過點P（-3，0）且傾斜角為30°的直線l和曲線C：

x=s+ 1 s y=s- 1 s

（s為參數）相交于A，B兩點，求線段AB的長．
（2）若不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）直線的參數方程為 

x = -3 +  3 2 s y =  1 2 s

   （s 為參數），曲線

x=s+ 1 s y=s- 1 s

可以化為  x²-y²=4．
將直線的參數方程代入上式，得  s2-6

3

s+ 10 = 0．
設A、B對應的參數分別為 s₁，s₂，∴s1+  s2= 6 

3

，s₁•s₂=10．
∴AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

=2

17

．
（2）由柯西不等式9=（1²+2²+2²）•（x²+y²+z²）≥（1•x+2•y+2•z）²
即x+2y+2z≤3，當且僅當

x 1 = y 2 = z 2 ＞0 x2+y2+z2=1

即 x=

1

5

，y=

2

5

，z=

2

5

時，x+2y+2z取得最大值3．
∵不等式|a-1|≥x+2y+2z，對滿足x²+y²+z²=1的一切實數x，y，z恒成立，
只需|a-1|≥3，解得a-1≥3或a-1≤-3，∴a≥4或∴a≤-2．
即實數的取值范圍是（-∞，-2]∪[4，+∞）．
故答案為：a≥4或a≤-2．