Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n.已知a₁＝1，＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^*.
(1)求a₂的值；
(2)求數列{a_n}的通項公式；
(3)證明：對一切正整數n，有.

Answer 1

（1）a₂＝4.（2）a_n＝n²，n∈N^*（3）見解析

(1)解：∵＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^?．
∴當n＝1時，2a₁＝2S₁＝a₂－－1－＝a₂－2.
又a₁＝1，∴a₂＝4.
(2)解：∵＝a_n＋1－n²－n－，n∈N^?．
∴2S_n＝na_n＋1－n³－n²－n＝na_n＋1－，①
∴當n≥2時，2S_n－1＝(n－1)a_n－，②
由①－②，得2S_n－2S_n－1＝na_n＋1－(n－1)a_n－n(n＋1)，
∵2a_n＝2S_n－2S_n－1，∴2a_n＝na_n＋1－(n－1)a_n－n(n＋1)，∴＝1，
∴數列是以首項為＝1，公差為1的等差數列．
∴＝1＋1×(n－1)＝n，∴a_n＝n²(n≥2)，
當n＝1時，上式顯然成立．　∴a_n＝n²，n∈N^*.
(3)證明：由(2)知，a_n＝n²，n∈N^*，
①當n＝1時，＝1<，∴原不等式成立．
②當n＝2時，＝1＋<，∴原不等式成立．
③當n≥3時，∵n²>(n－1)·(n＋1)，
∴， ∴＝
<1＋
＝1＋
＝1＋
＝1＋＝，
∴當n≥3時，∴原不等式亦成立．
綜上，對一切正整數n，有.