Question

已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁，F₂在x軸上，準線方程為x=±

1

2

，漸近線為y=±

3

x．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若A、B分別為雙曲線的左、右頂點，雙曲線的弦PQ垂直于x軸，求直線AP與BQ的交點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據雙曲線的準線方程及漸近線方程公式得到方程組

a2 c = 1 2 b a = 3

求出a，b的值，即得到雙曲線的方程．
（2）設出點P，Q，M的坐標，利用點斜式寫出直線PA，QB的方程，聯立兩直線的方程求出交點坐標與點P坐標的關系，代入雙曲線的方程求出交點的軌跡方程．

解答：解：（1）設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因為準線方程為x=±

1

2

，漸近線為y=±

3

x．
所以

a2 c = 1 2 b a = 3

解得a=1，b=

3

，
所以雙曲線方程為x2-

y2

3

=1
（2）設點P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
則可得到直線的方程PA：y=

y0

x0+1

(x+1)；
QB：y=

-y0

x0-1

(x-1)
由

y= y0 x0+1 (x+1) y= -y0 x0-1 (x-1)

得

x0= 1 x y0= y x

代入方程x02 -

y02

3

=1
得x2+

y2

3

=1，
又由|x₀|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直線AP與BQ的交點M的軌跡方程為x2+

y2

3

=1，（-1＜x＜1且xy≠0）

點評：本題考查求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法；解決曲線的軌跡方程問題，常用的方法有：直接法、、交軌法、
定義法、待定系數法、相關點法等．