Question

【題目】已知函數，，在處的切線方程為

（1）若，證明：；

（2）若方程有兩個實數根，，且，證明：

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

Ⅰ求得的導數，可得切線的斜率和切點，由切線方程可得的解析式，令，求得導數和單調性，即可得證；

Ⅱ設在處的切線方程為，可得，令，求得導數和單調性，運用函數方程的轉化，以及函數的單調性的運用，即可得證．

Ⅰ由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故，；

可知，，，由，可得，

令，，

當時，，

當時，設，，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故，即，

故；

Ⅱ設在處的切線方程為，

易得，，令，

即，，

當時，，

當時，設，，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

故F，，

設的根為，則，

又函數單調遞減，故，故，

設在處的切線方程為，易得，

由Ⅰ得，設的根為，則，

又函數單調遞增，故，故，

又，．