Question

如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點．
（1）證明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA=AB=2，且當直線PC與平面ABC所成角正切值為

2

時，直線AB與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由C在圓O上，知BC⊥AC，由PA⊥平面ABC，知BC⊥PA，由此能證明△BPC是直角三角形．
（2）過A作AH⊥PC于H，由BC⊥平面PAC，知BC⊥AH，AH⊥平面PBC，所以∠ABH是AC與平面PBC所成角．由此能求出AC與平面PBC所成角正弦值．

解答：（1）證明：∵C在圓O上，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
（2）解：如圖，過A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，則∠ABH就是要求的角．…（8分）
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC與平面ABC所成角，…（9分）
∵tan∠PCA=

PA

AC

=

2

，又PC=2，∴AC=

2

．…（10分）
∴在Rt△PAC中，AH=

PA•AC

PA2+AC2

=

2

3

3

，…（11分）
∴在RtABH中，sin∠ABH=

2 3 3

2

=

3

3

，
故AC與平面PBC所成角正弦值為

3

3

．…（12分）

點評：本題考查直角三角形的證明，考查直線與平面所成角的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．