Question

【題目】設，。

（1）求的單調區間；

（2）討論零點的個數；

（3）當時，設恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的單調遞增區間為，單調遞減區間為。(2)見解析；(3)

【解析】

（1）直接對原函數求導，令導數大于0，解得增區間，令導數小于0，解得減區間；

（2）先判斷是f(x)的一個零點，當時，由f(x)=0得，，對函數求導得的大致圖像，分析y=a與交點的個數可得到函數f（x）的零點個數．

（3）不等式恒成立轉化為函數的最值問題，通過變形構造出函數h(x)=f(x)-ag(x)，通過研究該函數的單調性與極值，進而轉化為該函數的最小值大于等于0恒成立，求得a即可.

（1），

當時，，遞增，當時，，g(x)遞減,

故的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）是f(x)的一個零點，當時，由f(x)=0得，，

，

當時，遞減且，

當時，，且時，遞減，

時，遞增，故，,

大致圖像如圖，

∴當時，f(x)有1個零點；

當a=e或時，f(x)有2個零點；；

當時， 有3個零點.

（3）h(x)=f(x)-ag(x)=x，

,

設的根為，即有

，可得，時，，遞減，

當時，，遞增，

，

∴