Question

已知點P在圓x²＋y²＝1上運動，過點P作x軸的垂線，垂足為D，點M在DP的延長線上，且有|DP|＝|MP|.(1)求M點的軌跡方程C；(2)已知直線l過點(0，)，且斜率為1，求l與C相交所得的弦長．

Answer 1

(1) x² ＋＝1 (2)

此題考查了直線與圓相交的性質，以及動點的軌跡方程，涉及的知識有：直線與圓的交點，一元二次方程根與系數的關系，兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，基本不等式的運用，以及直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑的性質，利用了轉化及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．
（1）設出M的坐標為（x，y），點P的坐標為（x₀，y₀），由題意DP⊥x軸，點M在DP的延長線上，且|DP|＝|MP|，找出x₀與x的關系及y₀與y的關系，記作①，根據P在圓上，將P的坐標代入圓的方程，記作②，將①代入②，即可得到點M的軌跡方程；
（2）直線與圓聯立求解方程組，結合根與系數的關系得到弦長公式。
解：(1)設P(x₀,y₀)，M(x,y)，由題意知，   ……3分
又點P在圓x²＋y²＝1，可得M點的軌跡方程為x² ＋＝1． ……6分
(2)由(1)知聯立上式得4x²＋(x＋)²＝4,5x²＋2x－1＝0,可知必有D>0…8分
設l與C的交點為A(x₁，y₁), B(x₂，y₂)，則有x₁＋x₂ ＝－,  x₁x₂ ＝－．…10分
\|AB|＝|x₁－x₂|＝
＝＝＝． ……12分