Question

已知?jiǎng)訄AP與圓相切，且經(jīng)過點(diǎn)．
（1）試求動(dòng)圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圓D與曲線C交于關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A的縱坐標(biāo)大于0），且，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)t的值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D是圓D的圓心，E、F是圓D上的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足，點(diǎn)T是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，試求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由點(diǎn)N在圓M內(nèi)，得圓M，P相內(nèi)切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，可得動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓；即可求出動(dòng)圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）：可得OA⊥OB，再由對(duì)稱性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直線OA的方程為y=x，與橢圓方程聯(lián)立可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；再利用點(diǎn)A在圓D代入即可求出實(shí)數(shù)t的值；
（3）先由知，D是線段EF的中點(diǎn)，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入整理為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求的最小值．
解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓P的圓心坐標(biāo)為P（x，y），
則由題意知：點(diǎn)N在圓M內(nèi)，故圓M，P相內(nèi)切，
∴|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，
所以，動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓；
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，．
（2）：∴OA⊥OB，由對(duì)稱性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直線OA的斜率k_OA=1，直線OA的方程為y=x，
由，得A（1，1）；
又點(diǎn)A在圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0）上，
∴（1-t）²+1=t²，解得t=1．
（3）：由知，D是線段EF的中點(diǎn)，
不妨設(shè)E（x₁，y₁），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x₁，-y₁）
設(shè)T（x，y），
則=（x₁-x，y₁-y）•（2-x₁-x，-y₁-y）
=（x₁-x）（2-x₁-x）+（y₁-y）（-y₁-y）
=2（x₁-x）-（x₁²-x²）+（y²-y₁²）
=-x₁²+2x₁-y₁²+x²+y²-2x
=-[（x₁-1）²+y₁²]+1+x²+y²-2x
=x²-2x+（1-）
=-；
由-2≤x≤2知，當(dāng)x=時(shí)，的最小值為-；
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及軌跡方程．第一問中的關(guān)鍵在于分析出圓M，P相內(nèi)切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=＜4，進(jìn)而得到動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．