Question

已知：二次函數f（x）滿足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax²+1有一個正的零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先設出二次函數的一般表達式，再根據已知條件代入進行求解；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1有一個正的零點，可得g（x）=0將問題轉化為（1-a）x²-x+2=0有一個正根，對1-a與0的關系進行討論，從而求解；

解答：解：（1）∵二次函數f（x）滿足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
設f（x）=ax²+bx+c，f（0）=1可得c=1，
a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
可得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1=（1-a）x²-x+2，
g（x）=0有一個正的零點?（1-a）x²-x+2=0有一個正根，
①當1-a=0即a=1，得x=2，符合題意；
②1-a≠0即a≠1時，△=1-8（1-a）=8a-7，
當8a-7=0，即a=

7

8

時，方程有等根x=4，符合題意，
當a＞

7

8

時，△＞0，只需兩根x1x2＜0，即

2

1-a

＜0，
∴a＞1，
綜上a的取值范圍為[1，+∞）∪{

7

8

}；

點評：此題主要考查函數的零點問題，以及函數的解析式的求法，是一道基礎題；