Question

【題目】已知圓，某拋物線的頂點為原點，焦點為圓心，經過點的直線交圓于， 兩點，交此拋物線于， 兩點，其中， 在第一象限， ， 在第二象限.

(1)求該拋物線的方程；

(2)是否存在直線，使是與的等差中項？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的方程為 （2）存在滿足要求的直線，其方程為或

【解析】試題分析：（1）圓方程可化為可化為 圓心的坐標為， 拋物線的方程為；（2）由等差數列性質可得

，再由， ， 存在滿足要求的直線，其方程為或.

試題解析：

（1）可化為，

根據已知拋物線的方程為（）.

∵圓心的坐標為，∴，解得.

∴拋物線的方程為.

（2）∵是與的等差中項，圓的半徑為2，∴.

∴.

由題知，直線的斜率存在，故可設直線的方程為，

設， ，

由，得， ，

故， .

∵

∴

由，解得.

∴存在滿足要求的直線，其方程為或