Question

已知a＞0，b＞0，c＞0，證明三個數

ab+1

b

，

bc+1

c

，

ca+1

a

中至少有一個不小于2．

Answer 1

假設三個數

ab+1

b

，

bc+1

c

，

ca+1

a

都小于2，
即

ab+1

b

＜2、

bc+1

c

＜2、

ca+1

a

＜2，
∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴ab+1＜2b，bc+1＜2c，ca+1＜2a，
∴a+

1

b

＜2，b+

1

c

＜2，c+

1

a

＜2，
∴a+

1

a

+b+

1

b

+c+

1

c

＜6 ①．
而由基本不等式可得，a+

1

a

≥2，b+

1

b

≥2，c+

1

c

≥2，∴a+

1

a

+b+

1

b

+c+

1

c

≥6 ②．
顯然，①和②相矛盾，故假設不正確，故有三個數

ab+1

b

，

bc+1

c

，

ca+1

a

中至少有一個不小于2．