Question

設函數設函數f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數f′(x)=

1

x

，g（x）=f（x）+f'（x）．
（1）求g（x）的單調區間和最小值；
（2）討論g（x）與g(

1

x

)的大小關系；
（3）是否存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對任意x＞0成立？若存在，求出x₀的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求導，根據導數的正負取得函數的單調區間，從而可得函數的最小值；
（2）構造函數φ（x），利用導數求該函數的最小值，從而求得g（x）與g(

1

x

)的大小大小關系；
（3）假設存在x₀＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜

1

x

對任意x＞0成立，轉化為封閉型命題，利用研究函數的最值可得結論．

解答：解：（1）由f（1）=0，導函數f′(x)=

1

x

可知f（x）=lnx，x＞0，
∵g（x）=f（x）+f'（x），∴g(x)=lnx+

1

x

，x＞0．
求導函數可得g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
所以當x∈（0，1）時，g'（x）＜0；x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，
故函數的單調增區間為（1，+∞），單調減區間為（0，1），極小值為g（1）=1
∵函數在定義域上僅有一個極小值，∴也為最小值，最小值為g（1）=1．
（2）設φ(x)=g(x)-g(

1

x

)=2lnx+

1

x

-x，x＞0，則φ′(x)=-(

x-1

x

)2≤0，故函數在定義域內為減函數，
∵φ（1）=0，
∴當x∈（0，1）時，φ（x）＞0，即g（x）＞g(

1

x

)；x∈（1，+∞）時，φ（x）＜0，即g（x）＜g(

1

x

)；x=1時，g（x）=g(

1

x

)．
（3）假設存在滿足題設的x₀，則|g(x)-g(x0)|＜

1

x

?-

1

x

＜g(x0)-(lnx+

1

x

)＜

1

x

?lnx＜g(x0)＜lnx+

2

x

，對任意x＞0成立，
從而有

(lnx)max＜g(x0) g(x0)＜(lnx+ 2 x )min

∵lnx→+∞，(lnx+

2

x

)min=1
∴無解，故不存在．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和在閉區間上的最值問題，考查分類討論的思想方法．其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．