Question

已知函數f(x)=a•2x2-x+b的圖象經過點A（1，3）和B（2，6），g（x）=2^x+m-3+b，其中m為實數．
（1）求實數a，b的值；
（2）若對一切x∈[-2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點A（1，3）和B（2，6）代入函數f（x）的解析式求得 a和b的值．
（2）由（1）可得，當-2≤x≤0時，2x2-x＞2^x+m-3 恒成立，即 x²-2x+3-2m＞0 恒成立．由于函數y=x²-2x+3-2m 在區間[-2，0]上單調遞減，故當x=0時，
y=x²-2x+3-2m=3-2m＞0，由此求得m的取值范圍．

解答：解：（1）把點A（1，3）和B（2，6）代入函數f（x）的解析式可得 3=a+b，6=4a+b．
解得 a=1，b=2．
（2）由（1）可得f（x）=2x2-x+2，g（x）=2^x+m-3+2，
若對一切x∈[-2，0]，都有f（x）＞g（x）恒成立，則當-2≤x≤0時，2x2-x＞2^x+m-3 恒成立，
即 x²-x＞x+m-3 恒成立，即 x²-2x+3-2m＞0 恒成立．
由于函數y=x²-2x+3-2m 在區間[-2，0]上單調遞減，故當x=0時，y=x²-2x+3-2m=3-2m＞0，解得m＜

3

2

，
即m的取值范圍為 （-∞，

3

2

）．

點評：本題主要考查指數函數的性質，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．