Question

已知實數a滿足a＞0且a≠1．命題P：函數y=log_a（x+1）在（0，+∞）內單調遞減；命題Q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．如果“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當P為真命題時，根據對數型函數單調性的規律得到0＜a＜1；根據一元二次方程根的判別式，得到當Q為真命題時，0＜a＜

1

2

或a＞

5

2

．因為“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，說明命題P、Q中一個為真，另一個為假，最后據此進行分類討論，可得a的取值范圍．

解答：解：先看命題P
∵函數y=log_a（x+1）在（0，+∞）內單調遞減，a＞0，a≠1，
∴命題P為真時?0＜a＜1…（2分）
再看命題Q
當命題Q為真時，二次函數對應的一元二次方程根的判別式滿足
△=（2a-3）²-4＞0⇒0＜a＜

1

2

或a＞

5

2

…（4分）
由“P∨Q”為真且“P∧Q”為假，知P、Q有且只有一個正確．…（6分）
（1）當P正確且Q不正確?

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

⇒a∈[

1

2

，1)…（9分）
（2）當P不正確且Q正確?

a＞1 0＜a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，⇒a∈(

5

2

，+∞)…（12分）
綜上所述，a取值范圍是[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)…（14分）

點評：本題以函數的單調性和二次函數零點的問題為載體，考查了命題真假的判斷與應用，屬于中檔題．