Question

【題目】已知函數其中，為常數且在處取得極值．

1當時，求的單調區間；

2若在上的最大值為1，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）或

【解析】

由函數的解析式，可求出函數導函數的解析式，進而根據是的一個極值點，可構造關于a，b的方程，根據求出b值；可得函數導函數的解析式，分析導函數值大于0和小于0時，x的范圍，可得函數的單調區間；對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，列表表示出在各個區間上的導函數和函數的情況，求出極值，把極值同端點處的值進行比較得到最大值，最后利用條件建立關于a的方程求得結果．

因為所以，

因為函數在處取得極值，

，

當時，，，

，隨x的變化情況如下表：

x				1
		0		0
	增	極大值	減	極小值	增

所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為

因為

令，，

因為在處取得極值，所以，

當時，在上單調遞增，在上單調遞減

所以在區間上的最大值為，

令，解得

當，

當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增

所以最大值1可能在或處取得

而

所以，解得

當時，在區間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增

所以最大值1可能在或處取得

而，

所以，

解得，與矛盾.

當時，在區間上單調遞增，在單調遞減，

所以最大值1可能在處取得，而，矛盾。

綜上所述，或