Question

（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=x3+ax2+ax-2(a∈R),
(1)若函數f(x)在區間(-∞，+∞)上為單調增函數，求實數a的取值范圍；
(2)設A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函數f(x)的兩個極值點，若直線AB的斜率不小于-，求實數a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)因為函數f(x)在(-∞，+∞)上為單調遞增函數，
所以f′(x)=x2+ax+a>0在(-∞，+∞)上恒成立.
由Δ=a2-4a<0，解得0<a<4.                                                 4分
又當a=0時，f(x)=x3-2在(-∞，+∞)上為單調遞增函數;
當a=4時，f(x)=x3+2x2+4x-2=(x+2)3-在(-∞，+∞)上為單調遞增函數，
所以0≤a≤4.                                                        6分（12分文）
(2)依題意，方程f′(x)=0有兩個不同的實數根x1、x2，
由Δ=a2-4a>0，解得a<0或a>4,且x1+x2=-a，x1x2="a.                          " 8分
所以f(x1)-f(x2)=［(x12+x1x2+x22)+a(x1+x2)+a］(x1-x2).
所以=［(x1+x2)2-x1x2］+a(x1+x2)+a=(a2-a)+a(-a)+a=-a2+a≥-.
解之,得-1≤a≤5.
所以實數a的取值范圍是-1≤a<0或4<a≤5.                                  12分

略