Question

【題目】在圓上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線段,垂足為,點(diǎn)在直線上,且,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí).

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程，并指出軌跡.

(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．

Answer 1

【答案】（1），橢圓，（2）見解析.

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由,可得，代入化簡(jiǎn)即可得結(jié)果；(2)設(shè)直線，代入可得,利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得 ,從而可得結(jié)論.

(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>在圓上，所以

設(shè),因?yàn)?/span>，且與軸垂直，

所以，代入

可得，化為，

即的方程為，軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓.

(2)設(shè)直線l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．

將y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.

所以直線OM的斜率kOM＝＝－，

所以kOM·k＝－.

故直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值．