Question

已知函數f（x）=a•b^x的圖象過點A（0，1）和B（3，27）
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在數列{a_n}中，已知a₁=f（2），a_n+1=2a_n+f（n）（其中n∈N^*），求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）把點A（0，1）和B（3，27）代入函數解析式可求a，b進而可求函數f（x）的解析式
（2）由已知可得

an+1

3n+1

= 

2

3

•

an

3n

+

1

3

，令bn+1=

an+1

3n+1

，則可得bn+1-1=

2

3

(bn-1)，結合等比數列的通項公式可求b_n，進而可求a_n

解答：解：（1）由函數f（x）=a•b^x的圖象過點A（0，1）和B（3，27）
可得a•b⁰=1，a•b³=27
∴a=1，b=3∴f（x）=3^x
（2）由a₁=f（2）=9，a_n+1=2a_n+f（n）=2a_n+3ⁿ
∴

an+1

3n+1

= 

2

3

•

an

3n

+

1

3

令bn+1=

an+1

3n+1

，則b₁=3，bn+1=

2

3

bn+

1

3

∴bn+1-1=

2

3

(bn-1)，b₁-1=2
∴{b_n-1}是以2為首項以

2

3

為公比的等比數列
由等比數列的通項公式可得，bn-1=2•(

2

3

)n-1bn=1+(

2

3

)n-1×2=1+

2n

3n-1

∴a_n=3ⁿ+3×2ⁿ

點評：本題以指數函數的解析式的求解為切入點，主要考查了利用數列的遞推公式二次構造等比數列求解數列的通項公式，解題的關鍵變形是

an+1

3n+1

= 

2

3

•

an

3n

+

1

3

；bn+1-1=

2

3

(bn-1)，b₁-1=2．