Question

已知矩陣M=

2  1 4  2

，向量

β

=

.

1   7

.

．
（1）求矩陣M的特征向量；
（2）計算M⁵⁰

β

．

Answer 1

分析：（1）先根據特征值的定義列出特征多項式f（λ），再令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（2）利用特征向量的性質計算，先利用特征向量表示向量β，后將求A⁵⁰β的值的問題轉化成求有關特征向量的計算問題．

解答：解：（1）矩陣M的特征多項式為f(λ)=

.

λ-2 -1 -4 λ-2

.

=(λ-2)2-4=0，…（3分）
所以λ₁=0，λ₂=4，設對應的特征向量為α₁=

x1 y1

，α₂=

x2 y2

．
由Mα₁=λ₁α₁，Mα₂=λ₂α₂，可得2x₁+y₁=0，2x₂-y₂=0，
所以矩陣M的一個特征向量為α₁=

1 -2

，α₂=

1 2

．…（7分）
（2）令β=mα₁+nα₂，則

1 7

=m

1 -2

+n

1 2

，解得m=-

5

4

，n=

9

4

，…（9分）
所以M⁵⁰β=M⁵⁰(-

5

4

α1+

9

4

α2)
=-

5

4

(M50α1)+

9

4

(M50α2)
=-

5

4

(λ150α1)+

9

4

(λ250α2)
=

9

4

•450

1 2

=

450• 9 4 450• 9 2

．      …（14分）

點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于矩陣中的中檔題．