Question

設f(x)=

ax2+bx

，求滿足下列條件的實數a的值：至少有一個正實數b，使函數f（x）的定義域和值域相同．

Answer 1

分析：由于函數解析式中，被開方式是一個類一元二次式，故我們可分a=0，a＞0和a＜0，三種情況，分別分析是否存在正實數b，使函數f（x）的定義域和值域相同，進而綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：（1）若a=0，則對于每個正數b，f(x)=

bx

的定義域和值域都是[0，+∞）
故a=0滿足條件--------------（4分）
（2）若a＞0，則對于正數b，f(x)=

ax2+bx

的定義域為D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合條件；-----------（4分）
（3）若a＜0，則對正數b，定義域D=[0，-

b

a

](f(x))max=

b

2 -a

，
f（x）的值域為[0，

b

2 -a

]，則-

b

a

=

b

2 -a

?

a＜0 2 -a =-a

?a=-4--（5分）
綜上所述：a的值為0或-4----------（1分）

點評：本題考查的知識點是函數的定義域及其求法，函數的值域，二次函數的圖象和性質，其中熟練掌握一次函數和二次函數的圖象和性質是解答本題的關鍵，解答中易忽略a=0時，也滿足條件，而錯解為a=-4