Question

已知函數f(x)=

lnx

x

．
（I）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若y=xf（x）+

1

x

的圖象總在直線y=a的上方，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）與g(x)=

1

6

x-

m

x

+

2

3

的圖象有公共點，且在公共點處的切線相同，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）先對函數f(x)=

lnx

x

進行求導運算，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減，可求得單調區間．
（2）將將函數f（x）的解析式代入，可將問題轉化為不等式a＜lnx+

1

x

對于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+

1

x

后進行求導，根據導函數的正負情況判斷函數的單調性進而可得到函數g（x）的最小值，從而得到答案．
（3）將函數f（x）與g(x)=

1

6

x-

m

x

+

2

3

的圖象有公共點轉化為lnx=

1

6

x2+

2

3

x-m有解，再由y=lnx與y=

1

6

x2+

2

3

x-m在公共點（x₀，y₀）處的切線相同可得到

lnx0= 1 6 x 2 0 + 2 3 x0-m 1 x0 = 1 3 x0+ 2 3

同時成立，進而可求出x₀的值，從而得到m的值．

解答：解：（Ⅰ）可得f′(x)=

1-lnx

x2

．
當0＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；當e＜x時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．
（Ⅱ）依題意，轉化為不等式a＜lnx+

1

x

對于x＞0恒成立
令g（x）=lnx+

1

x

，則g'（x）=

1

x

-

1

x2

=

1

x

(1-

1

x

)
當x＞1時，因為g'（x）=

1

x

(1-

1

x

)＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函數，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的減函數，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
從而a的取值范圍是（-∞，1）．
（Ⅲ）轉化為lnx=

1

6

x2+

2

3

x-m，y=lnx與y=

1

6

x2+

2

3

x-m在公共點（x₀，y₀）處的切線相同
由題意知

lnx0= 1 6 x 2 0 + 2 3 x0-m 1 x0 = 1 3 x0+ 2 3

∴解得：x₀=1，或x₀=-3（舍去），代入第一式，即有m=

5

6

．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．