Question

（本小題滿分14分）
　　已知：函數（），．
　　（1）若函數圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；
　　（2）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；
　　（3）對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得不等式和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”。設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）所求“分界線”方程為：．

解：
　　（1）因為，所以，令
　　　　 得：，此時，
　　　　 則點到直線的距離為，
　　　　 即，解之得或．　
　　　　 經檢驗知，為增解不合題意，故
　　（2）法一：不等式的解集中的整數恰有3個，
　　　　 　　　等價于恰有三個整數解，故，
　　　　 　　　令，由且，
　　　　 　　　所以函數的一個零點在區間，
　　　　 　　　則另一個零點一定在區間，
　　　　 　　　故解之得．
　　　　 法二：恰有三個整數解，故，即，
　　　　　　　 ，
　　　　　　 　所以，又因為，
　　　　　　 　所以，解之得．
　　（3）設，則．
　　　　 所以當時，；當時，．
　　　　 因此時，取得最小值，
　　　　 則與的圖象在處有公共點．　　　　　　　
　　　　 設與存在 “分界線”，方程為，
　　　　 即，
　 由在恒成立，則在恒成立 ．
　 所以成立，因此．
　　　　 下面證明恒成立．
　　　　 設，則．
　　　　 所以當時，；當時，．
　　　　 因此時取得最大值，則成立．
　　　　 故所求“分界線”方程為：．