Question

在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師給一個(gè)活動(dòng)小組安排了這樣的一個(gè)任務(wù)：設(shè)計(jì)一個(gè)方案，將一塊邊長(zhǎng)為4米的正方形鐵片，通過(guò)裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器（只有一個(gè)下底面和側(cè)面的長(zhǎng)方體）．該活動(dòng)小組接到任務(wù)后，立刻設(shè)計(jì)了一個(gè)方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個(gè)相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長(zhǎng)方體（如圖2）．請(qǐng)你分析一下他們的設(shè)計(jì)方案切去邊長(zhǎng)為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請(qǐng)你幫他們?cè)僭O(shè)計(jì)一個(gè)能符合要求的方案，簡(jiǎn)單說(shuō)明操作過(guò)程和理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，利用長(zhǎng)方體的體積公式求得其容積表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)研究它的極值，進(jìn)而得出此函數(shù)的最大值即可．（2）在（1）中之所以不符合要求，主要原因是因?yàn)椴萌ニ膫�(gè)相同的小正方形形成資源浪費(fèi)，沒(méi)有充分利用現(xiàn)有材料，重新設(shè)計(jì)方案時(shí)，必須充分考慮材料不浪費(fèi)．

解答：解：（1）設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x，則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x，高為x，
所以V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．（4分）
∴V₁′=4（3x²-8x+4），（5分）
令V₁′=0，即4（3x²-8x+4）=0，解得x₁=

2

3

，x₂=2（舍去）．（7分）
∵V₁在（0，2）內(nèi)只有一個(gè)極值，
∴當(dāng)x=

2

3

時(shí)，V₁取得最大值

128

27

．

128

27

＜5，即不符合要求（9分）
（2）重新設(shè)計(jì)方案如下：
如圖①，在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長(zhǎng)方體容器．新焊長(zhǎng)方體容器底面是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為3，寬為2，此長(zhǎng)方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞5．
故第二種方案符合要求．
（13分）
注：第二問(wèn)答案不唯一．

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，把問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這需要通過(guò)分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點(diǎn)的函數(shù)值確定．當(dāng)函數(shù)定義域是開(kāi)區(qū)間且在區(qū)間上只有一個(gè)極值時(shí)，這個(gè)極值就是它的最值．