Question

【題目】如圖，圓O為△ABC的外接圓，過點C作圓O的切線交AB的延長線于點D，∠ADC的平分線交AC于點E，∠ACB的平分線交AD于點H．

（1）求證：CH⊥DE；
（2）若AE=2CE．證明：DC=2DB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

設DE與BC交于點F，則∠CFE=∠CDF+∠DCF，∠DEC=∠EDA+∠DAE，

因為DC為圓O的切線，

所以∠DCF=∠DAE，

又因DE為∠ADC的平分線，

所以∠CDF=∠EDA，

所以∠DEC=∠CFE

即∠CEF=∠CFE，所以△CFE為等腰三角形，

又因CH為∠ACB的平分線，所以CH⊥EF，

即CH⊥DE

（2）證明：因DC為圓O的切線，

所以DC2=DBDA，

又因DE為∠ADC的平分線，AE=2CE，

所以 ，所以 =2，

即DC=2DB

【解析】（1）證明∠CEF=∠CFE，所以△CFE為等腰三角形，又因CH為∠ACB的平分線，所以CH⊥EF，即可證明CH⊥DE；（2）證明DC2=DBDA，因DE為∠ADC的平分線，AE=2CE．即可證明：DC=2DB．