Question

設圓M：x²+y²=8，將圓上每一點的橫坐標不變，縱坐標壓縮到原來的，得到曲線C．點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交曲線C于A、B兩個不同點．
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），根據圖象的變換可知點（x，2y）在圓x²+y²=8上．代入圓方程即可求得x和y的關系式，即曲線C的方程．
（2）根據題意可得直線l的方程，進而與橢圓方程聯立，消去y，進而根據判別式大于0求得m的范圍，進而根據m≠0，最后綜合可得答案．
解答：解：（1）在曲線C上任取一個動點P（x，y），則點（x，2y）在圓x²+y²=8上．
所以有x²+（2y）²=8，即曲線C的方程為．
（2）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，又k_OM=，
∴直線l的方程為y=x+m．
由，得x²+2mx+2m²-4=0．
又∵直線l交曲線C于A、B兩個不同點，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得-2＜m＜2，
又∵m≠0，
∴m的取值范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，直線與橢圓的關系．考查了學生分析問題的能力及數學化歸思想．