Question

如果的三個內角的余弦值分別等于對應的三個內角的正弦值，則

A．和均為銳角三角形

B．和均為鈍角三角形

C．為鈍角三角形，為銳角三角形

D．為銳角三角形，為鈍角三角形

Answer 1

D

試題分析：首先根據正弦、余弦在（0，π）內的符號特征，確定△A₁B₁C₁是銳角三角形；然后假設△A₂B₂C₂是銳角三角形，則由cosα=sin（ -α）推導出矛盾；再假設△A₂B₂C₂是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A₂B₂C₂是鈍角三角形的結論．解：因為△A₂B₂C₂的三個內角的正弦值均大于0，所以△A₁B₁C₁的三個內角的余弦值也均大于0，則△A₁B₁C₁是銳角三角形．若△A₂B₂C₂是銳角三角形，由sinA₂=cosA₁=sin（ - A₁）, sinB₂=cosB₁=sin（ - B₁）, sinC₂=cosC₁=sin（ - C₁）得，那么，A₂+B₂+C₂=，這與三角形內角和是π相矛盾；若△A₂B₂C₂是直角三角形，不妨設A₂=,則sinA₂=1=cosA₁，所以A₁在（0，π）范圍內無值．所以△A₂B₂C₂是鈍角三角形．故選D
點評：本題主要考查正余弦函數在各象限的符號特征及誘導公式，同時考查反證法思想