Question

已知球的直徑PQ=4，A、B、C是該球球面上的三點，△ABC是正三角形．∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，則棱錐P-ABC的體積為（　　）

A． 3 4 3

B． 9 4 3

C． 3 2 3

D． 27 4 3

Answer 1

設球心為M，三角形ABC截面小圓的圓心為0，
∵ABC是等邊三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°
∴P在面ABC的投影O是等邊△ABC的重心（此時四心合一）
∵PQ是直徑，
∴∠PCQ=90°．
∴PC=4cos30°=2

3

，
∴PO=2

3

•cos30°=3．
OC=2

3

sin30°=

3

O是等邊△ABC的重心
∴OC=

2

3

OH
∴等邊三角形ABC的高OH=

3 3

2

，
AC=

3 3

2

sin60°=3．
三棱錐P-ABC體積=

1

3

PO•S_△ABC=

1

3

×3×

1

2

×

3 3

2

×3=

9 3

4

．
故選：B．