Question

（本小題滿分16分）
在直角坐標系xOy中，直線l與x軸正半軸和y軸正半軸分別相交于A，B兩點，△AOB的內切圓為圓M．
（1）如果圓M的半徑為1，l與圓M切于點C (，1＋)，求直線l的方程；
（2）如果圓M的半徑為1，證明：當△AOB的面積、周長最小時，此時△AOB為同一個三角形；
（3）如果l的方程為x＋y－2－＝0，P為圓M上任一點，求＋＋的最值．

Answer 1

解析：（1）由題可得＝，＝．所以l：y＝＋＋1．
（2）設A(a，0)，B(0，b) (a＞2，b＞2)，則l：bx＋ay－ab＝0．由題可得M (1，1)．
所以點M到直線l的距離d＝＝1，整理得(a－2)(b－2)＝2，即ab－2(a＋b)＋2＝0．于是ab＋2＝2(a＋b)≥，≥2＋，ab≥6＋．當且僅當a＝b＝2＋時，ab＝6＋．
所以面積S＝≥3＋，此時△AOB為直角邊長為2＋的等腰直角三角形．
周長L＝a＋b＋≥＋＝(2＋)·≥＝6＋，此時△AOB為直角邊長為2＋的等腰直角三角形．
所以此時的△AOB為同一個三角形．
（3）l的方程為x＋y－2－＝0，得A(2＋，0)，B(0，2＋)，：＋＝1，設P(m，n)為圓上任一點，則＋＝1，＋＝2(m＋n)－1，
＋＝1≥，2－≤m＋n≤2＋．
＋＋＝＋－(4＋)(m＋n)＋＝(9＋)－(－2)(m＋n)．
當m＋n＝2－時，＝(9＋)－(－2)( 2－)＝17＋．此時，m＝n＝1－．
當m＋n＝2＋時，＝(9＋)－(－2)( 2＋)＝9＋．此時，m＝n＝1＋．

解析