Question

已知定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，且f（ax+1）≤f（x-2）對任意x∈[

1

2

，1]都成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、[-2，0]
• B、[-3，-1]
• C、[-5，1]
• D、[-2，1）

Answer 1

分析：由已知中定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，根據偶函數單調性的性質，我們可得f（x）在（-∞，0）上是減函數，進而可將f（ax+1）≤f（x-2）對任意x∈[

1

2

，1]都成立，轉化為當x∈[

1

2

，1]時，-2≤ax≤0恒成立，解不等式即可得到答案．

解答：解：∵偶函數f（x）在[0，+∞）上是增函數，
則f（x）在（-∞，0）上是減函數，
則f（x-2）在區間[

1

2

，1]上的最小值為f（-1）=f（1）
若f（ax+1）≤f（x-2）對任意x∈[

1

2

，1]都成立，
當x∈[

1

2

，1]時，-1≤ax+1≤1，即-2≤ax≤0恒成立
則-2≤a≤0
故選A

點評：本題考查的知識點是奇偶性與單調性的綜合，其中根據已知條件及偶函數在對稱區間上單調性相反，得到函數的單調性是解答本題的關鍵．