Question

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q（）的等比數(shù)列.若
(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；     
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對(duì)任意自然數(shù)n均有，求 的值；
(Ⅲ)試比較與的大小.

Answer 1

（1），  （2）        （3）

試題分析：(Ⅰ) ∵ ， ∴ .
即 ， 解得 d =2.
∴ . ∴     2分
∵ , ∴ .
∵ , ∴ .
又， ∴ .  4分
(Ⅱ) 由題設(shè)知 ， ∴.
當(dāng)時(shí), ,
,
兩式相減,得.
∴  (適合).  7分
設(shè)T=,
∴

兩式相減 ,得


.
∴ .  10分
(Ⅲ) ,  .
現(xiàn)只須比較與的大小.
當(dāng)n=1時(shí), ；
當(dāng)n=2時(shí), ；
當(dāng)n=3時(shí), ；
當(dāng)n=4時(shí), .
猜想時(shí)，.     12分            
用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊，右邊，成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí), 不等式成立，即.
當(dāng)n=k+1時(shí),
.
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.
由（1）（2），可知時(shí)，都成立.
所以 （當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時(shí)，等號(hào)成立）
所以.即.    14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法來猜想證明大小，屬于難度試題。