Question

【題目】設函數f（x）=|x+2|+|x﹣a|，x∈R
（1）若a＜0，且log2f（x）＞2對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若a＞0，且關于x的不等式f（x）＜ x有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由log2f（x）＞2對任意x∈R恒成立，得f（x）＞4對任意x∈R恒成立，

即|x+2|+|x﹣a|＞4對任意x∈R恒成立，

也就是（|x+2|+|x﹣a|）min＞4對任意x∈R恒成立，

由|x+2|+|x﹣a|≥|（x+2）﹣（x﹣a）|=|2+a|，

得|2+a|＞4，即2+a＜﹣4或2+a＞4，解得a＜﹣6或a＞2，

∵a＜0，∴a＜﹣6

（2）解：∵a＞0，

∴f（x）=|x+2|+|x﹣a|= ，

畫出函數y=f（x）與y= 的圖象如圖，

由圖可知，要使關于x的不等式f（x）＜ x有解，則 ，解得a＞4

【解析】（1）利用絕對值的不等式求得f（x）=|x+2|+|x﹣a|的最小值，再由最小值大于4求得a的范圍；（2）寫出分段函數解析式，畫出圖形，數形結合列式求解．