Question

【題目】已知函數.

（1）若時，求函數在點處的切線方程；

（2）若函數在時取得極值，當時，求使得恒成立的實數的取值范圍；

（3）若函數在區間上單調遞減，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據函數在某點處導數的幾何意義，可得切弦的斜率，利用點斜式可得結果.

（2）根據，可得，然后利用導數判斷函數在的單調性，并根據的最值與的關系，可得結果.

（3）采用等價轉化的思想，可得在恒成立，并使用分離參數，構建新函數，根據的最值與的大小關系，可得結果.

（1）時，，

，

，，

故切線方程是：，

即；

（2），

，解得：，

∴，

，

令，解得：或，

令，解得：，

∴在遞增，在遞減，

∴的最小值是或，

而，，

∴；

（3）若函數在區間上單調遞減，

則在恒成立，

即在恒成立，

令，，

在恒成立，

∴在遞減，，

∴.