Question

已知f（x），g（x）是定義在R上的兩個函數，f（0）=1，且對于任意實數x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），求證：
（1）對任意x∈R都有f²（x）+g²（x）=1；
（2）f（x）是偶函數．

Answer 1

分析：（1）在恒等式f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）中，令y=x，即可證得結論；
（2）在恒等式f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）中，令x=y=0，可求得g（0），再令x=0，即可證得結論．

解答：證明：（1）∵任意實數x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），
∴令y=x，則有f（0）=f²（x）+g²（x），
∵f（0）=1，
∴任意x∈R都有f²（x）+g²（x）=1．
（2））∵任意實數x，y均有f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），
∴令x=y=0，則有f（0）=f²（0）+g²（0），
∵f（0）=1，
∴g（0）=0，
再令x=0，則有f（-y）=f（0）f（y）+g（0）g（y），
∴f（-y）=f（y），
令y=x，則有f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數．

點評：本題考查了抽象函數及其應用以及函數奇偶性的判斷．抽象函數給定恒等式時，關鍵是根據所要求的表達式進行恰當的賦值，證明函數的奇偶性一般運用奇偶函數的定義，但要特別注意先要求解定義域，判斷定義域是否關于原點對稱．屬于基礎題．