Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).

（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)K是（1）中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段F₁K的中點(diǎn)的軌跡方程；

Answer 1

(1) 橢圓C的方程為=1，焦點(diǎn)F₁（－1，0），F₂（1，0）;

(2) 為所求的軌跡方程.

解析:

（1）橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，由橢圓上的點(diǎn)A到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和是4，   

          得2a=4，即a=2.

又點(diǎn)A（1，）在橢圓上，因此=1得b²=3，于是c²=1.

所以橢圓C的方程為=1,焦點(diǎn)F₁（－1，0），F₂（1，0）

（2）設(shè)橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)為K（x₁，y₁），線段F₁K的中點(diǎn)Q（x，y）滿足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y.

因此=1.即為所求的軌跡方程.