Question

已知函數(a，b均為正常數).
（1）求證：函數在內至少有一個零點；
（2）設函數在處有極值，
①對于一切，不等式恒成立，求的取值范圍；
②若函數f(x)在區間上是單調增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

 （1）詳見解析；（Ⅱ）①②.

試題分析：（Ⅰ）證明函數在內至少有一個零點，可由零點的存在性定理考察和的符號，若且，則結論成立，若，可將區間進行適當分割，再依上面方法進行，直到找到函數的零點的存在區間；（Ⅱ）易知，從而求出的值.
①不等式恒成立可化分離參數轉化為求函數在區間上的最值問題，這是一個普通的三角函數問題，通過判斷三角函數的單調性容易解決；②函數在一個已知區間上為增函數，求參數的取值范圍問題，通常有兩種方法，一是用在這個區間上導函數的符號確定，一般三角函數不用此方法，二是求出函數的單調遞增區間，它必包含已知區間，然后考察參數的取值范圍.
試題解析：（1）證明：，

所以，函數在內至少有一個零點             4分
（2）由已知得：所以a=2，
所以                                                         5分
①不等式恒成立可化為：
記函數
，所以在恒成立                    8分
函數在上是增函數，最小值為
所以， 所以的取值范圍是                                     10分
②由得：，所以                  11分
令，可得                 13分
∵函數在區間（）上是單調增函數，
∴                                     14分
∴，
∵，∴，  ∴   ∴                           16分