Question

【題目】選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的取值范圍；
（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵函數(shù)f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，故函數(shù)f（x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值為3，

此時(shí)，﹣2≤x≤1

（2）

解：函數(shù)f（x）=|x+2|+|x﹣1|= ，而函數(shù)y=﹣ax+1表示過(guò)點(diǎn)（0，1），斜率為﹣a的一條直線，

如圖所示：當(dāng)直線y=﹣ax+1過(guò)點(diǎn)A（1，3）時(shí)，3=﹣a+1，∴a=﹣2，

當(dāng)直線y=﹣ax+1過(guò)點(diǎn)B（﹣2，3）時(shí)，3=2a+1，∴a=1，

故當(dāng)集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函數(shù)f（x）＞﹣ax+1恒成立，

即f（x）的圖象恒位于直線y=﹣ax+1的上方，

數(shù)形結(jié)合可得要求的a的范圍為（﹣2，1）．

【解析】（1）利用絕對(duì)值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的取值范圍．（2）當(dāng)集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函數(shù)f（x）＞﹣ax+1恒成立，即f（x）的圖象恒位于直線y=﹣ax+1的上方，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．