Question

【題目】若函數f（x）=ex（x2+ax+b）有極值點x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1 ， 則關于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同實根個數為（ ）
A.0
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函數f（x）有兩個不相同的極值點， 即f′（x）=ex[x2+（2+a）x+a+b]=0有兩個不相同的實數根x1 ， x2 ，
也就是方程x2+（2+a）x+a+b=0有兩個不相同的實數根，
所以△=（2+a）2﹣4（a+b）＞0；
由于方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的判別式△′=△，
故此方程的兩個解為f（x）=x1或f（x）=x2 ．
由于函數y=f（x）的圖象和直線y=x1的交點個數即為方程f（x）=x1的解的個數，
函數y=f（x）的圖象和直線y=x2的交點個數即為方程f（x）=x2的解的個數．
根據函數的單調性以及f（x1）=x1 ，
可知y=f（x）的圖象和直線y=x1的交點個數為2，
y=f（x）的圖象和直線y=x2的交點個數為1．
所以f（x）=x1或f（x）=x2共有三個不同的實數根，
即關于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同實根個數為3，
故選：B．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．