Question

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考察下列式子：(i)a1•

1

a1

≥1；(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．我們可以歸納出，對a₁，a₂，…，a_n也成立的類似不等式為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是歸納推理，我們可以根據已知條件中的不等式(i)a1•

1

a1

≥1；(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9，分析不等式左邊每一個因式的項數與右邊的數之間的關系，易得等式左邊每一個因式的項數為n時，右邊的數為n²，歸納后即可推斷出第n（n∈N^*）個不等式．

解答：解：由(i)a1•

1

a1

≥1；
(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；
(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．
…
∴(a1+a2+…+an)(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)≥n2
故答案為：(a1+a2+…+an)(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)≥n2

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．