Question

【題目】已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，點是，的交點，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設∠F1PF2＝θ，則，得出，利用橢圓和雙曲線的焦點三角形的面積公式可得出，結合c＝2，可得出，然后將橢圓和雙曲線的方程聯立，求出交點P的橫坐標，利用該點的橫坐標位于區間（﹣c，c），得出，可得出，從而得出橢圓C1的離心率e的取值范圍．

解：設∠F1PF2＝θ，則，所以，，則，

由焦點三角形的面積公式可得，所以，，

雙曲線的焦距為4，橢圓的半焦距為c＝2，則b2＝a2﹣c2＝a2﹣4＞3，

得，所以，橢圓C1的離心率．

聯立橢圓C1和雙曲線C2的方程，

得，得，

由于△PF1F2為銳角三角形，則點P的橫坐標，則，所以，．

因此，橢圓C1離心率e的取值范圍是．

故選：C．